[閒聊] 高考工程數學略解

作者: kilva (嗡嗡) 看板: Examination
標題: [閒聊] 高考工程數學略解
時間: Fri Jul 16 23:24:23 2010

申論題：
一、使用拉氏轉換解開聯立方程之後，再做反拉氏轉換就可得解。
    記得 L{x'} = sL{x}-x(0) 且不要忘了常數也要拉氏轉換 L{1}=1/s。
    之後的反拉氏轉換請自己背齊所有的常用拉氏轉換表。
二、將x、y、z和ds全換成t的函數，就可得解。
    ds = ds向量 的絕對值 = 2dt
三、(一)求出A的三個特徵矩陣，就可解出X。
    (二)A^100 = (XDX^-1)^100 = XD^100X^-1 = I，故解為I+2A。
四、因為沒有說以何點展開，就設以z=1點展開。
    1/(2-z) = 1/[1-(z-1)] = 1+(z-1)+(z-1)^2+...
    f(z) = 1/(z-1) + 1 + (z-1) + (z-1)^2 + ...

選擇題：
1 D
sint/t 由負無限大積至正無限大等於 pi 。(這也可以用剩餘定理求解，但背
下來比較好。) sin3t/tdt = sin3t/3td3t = sinu/udu, u=3t，且只積一半，
故得解。
2 B
通解都一樣，特殊解代入式子中就可以了。
3 A
看起來像是某個常見拉氏轉換的微分，拿s/(s^2+4)來微分，得
(4-s^2)/(s^2+4)^2。bingo！再用 F'(s) = -L{tf(t)} 即可得解。
4 B
反拉氏轉換，得 y(t) = (3/2)sinh2t。所以， y0 = 0 、 y'0 = 3
微分方程式為 y''-4y = 0，故 a = 0 、 b = -4 。
5 D
常數項為 2x^4e^x ，不可能出現有 e^2x 之類的項。
6 B
lim z->pi (z-pi)*(i-z^2)/cos(z/2)
= lim z->pi [(i-z^2)-2z(z-pi)]/[-sin(z/2)/2] (使用 L'Hospital)
= 2(pi^2-i)
7 A
x = (z+zbar)/2, y = (z-zbar)/2i 代入得解。
8 D
f(z) = (x^2-y^2+2ixy)/(x^2-y^2-2ixy)
沿 x^2-y^2=0 和 xy=0 這兩條線趨近的值會不同。
9 B
拉普拉斯算符 = x偏微兩次+y偏微兩次+z偏微兩次
(在電磁學裡已經看到不想看了)
10 D
AB.ACxAD
11 C
取gradient得解。
12 B
這題我用猜的，A^3=-1，得解。
13 C
上三角形矩陣除非對角上有零，否則沒有不可對角化的。
14 D
積為 ad-bc
15 A
將A當純量變數，代三個特徵值進去，得解。
16 D
A^-1X^-1B^-1 = A^-1B^3A^-1B^3
X^-1 = B^3A^-1B^4
X = B^-4AB^-3
17 ?
基本上，就是在01這個三角形區域內做積分就是了。
18 C
P(XP(X>Y) = P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1) = 1/3
19 B
E(X) = 0*1/4+2*3/4 = 3/2
E(4X+7) = 4E(X)+7 = 13
20 B
獨立就直接相乘。